ජ්‍යාමිතිය යන වචනය කනට මිහිරි වෙඤ්ඤයි…
ආර්. එම්. පී. එම්. කුමාරිහාමි ගුරු උපදේශකතුමිය මට හමු වන්නේ ‘ජාතික අධ්‍යාපන ආයතනයේ’ දී ය. ඒ 2013.08.29 වන දින පැවති ‘පර්යේෂණ අනාවරණ’ ප‍්‍රචලිත කිරීමේ සම්මන්ත‍්‍රණයේ දී ය. එදින ඉදිරිපත් කළ පර්යේෂණ අනාවරණවලින් වැඩි දෙනාගේ අවධානයට ලක් වු, එසේ ම වැඩි ම ප‍්‍රතිචාර හිමි වූ පර්යේෂණ පත‍්‍රිකාව ඉදිරිපත් කළේ කුමාරිහාමි මහත්මියයි. එතුමිය අවුරුදු 30ක පමණ කාලයක් ගුරු සේවයේ නියුතු ජ්‍යෙෂ්ඨ ගුරුතුමියක වූ අතර, දැනට නිකවැරටිය අධ්‍යාපන කලාපයේ ගණිත ගුරු උපදේශකවරිය ලෙස කටයුතු කරන්නී ය.
ඇය තම වෘත්තියේ නියැළෙන අවස්ථාවක එක්තරා පාසලක සාමාන්‍ය පෙළ විභාගයට පෙනී සිටීමට නියමිත සියලූ සිසුන් අසමත් වන මට්ටමේ (සමත් වන ප‍්‍රතිශතය 0%) සිටින බව (ලකුණු 35ට අඩු) දුටුවා ය. ඒ ඔවුන්ගේ වාර පරීක්ෂණ ලකුණු නිරීක්ෂණය කිරීමෙන් අනතුරු ව ය. ඔවුන්ට විභාගයට මුහුණ දීමට තිබුණේ ද මාස 06ක් වැනි කෙටි කාලයකි. පන්තියේ ගණිතය භාර ගුරුවරයාගෙන් ද ළමයින්ගෙන් ද විමසූ විට දැන ගන්නට ලැබුණේ ළමයින් ගණිත විෂයයට බියක් දක්වන බවත්, විෂයය ප‍්‍රියජනක නො වන බවත් ය. තම විෂය ක්ෂේත‍්‍රයේ පවතින මේ ගැටලූව පොදු ලක්ෂණයක් බව අත්දැකීමෙන් ද දන්න ඇය, නිකවැරටිය ගුරු මධ්‍යස්ථානාධිපති චන්දන විජයකෝන් මහතාගේ ද මග පෙන්වීම යටතේ ක‍්‍රියාමූලික පර්යේෂණයක් කිරීමට අදහස් කළා ය. මෙම පර්යේෂණයේ අරමුණ වූයේ සෞන්දර්යාත්මක හා සාහිත්‍යමය ප‍්‍රවේශයකින් ගණිතය පිළිබඳ මූලික සංකල්ප සිසුන්ට තහවුරු කිරීම, විෂයය භාර ගුරු භවතා සවිබල ගැන්වීම සහ විද්‍යාලයේ ගණිතය සමත් වන ප‍්‍රතිශතය 0% වීම වැළකීම ය.
එහි දී සිසුන් වැඩි පිරිසකට සාධනය වී නොතිබූ සංකීර්ණ ගණිත සංකල්ප පැහැදිලි කිරීමට ඇය නාට්‍ය, ගීත, කවි, විරිඳු නිර්මාණ කළා ය. එම නිර්මාණ විෂය භාර ගුරු භවතා මාර්ගයෙන් පාසල් සිසුන්ට පුරුදු පුහුණු කළා ය. එමගින් පාසල් සිසුන් ගණිතය විෂයයට ආකර්ශණය කර ගැනීමට හැකි විය. ගණිතය විෂයයට ඔවුන් තුළ තිබූ බිය-අකැමැත්ත ඉතා කෙටි කලකින් ඈත් කිරීමටත්, මූලික මට්ටමේ ගණිත සංකල්ප සිසුන් තුළ සාධනය කිරීමටත් හැකි විය. ඒ බව අවසාන වාර පරීක්ෂණයේ දී සමත් සිසුන් ප‍්‍රතිශතය ගණනය කිරීමෙන් වඩාත් හොඳින් තහවුරු වී තිබිණි. එනම් පන්තියේ සිටි ළමයි 20 දෙනා ම මුල දී අසමත් මට්ටමේ සිටි අතර, අවසානයේ දී ඉන් 08 දෙනෙක් (40%ක්) සමත් වීමේ සාධන මට්ටම සපුරාලූහ.
* * *
තවත් අවස්ථාවක එක්තරා පාසලක ගණිත ගුරුවරියක නොමැති නිසා, කලා උපාධියක් හිමි ගුරුවරියක ගණිතය විෂය ආවරණය කර ඇති අයුරු ද ඇය ‘ජ්‍යාමිතිය’ පාඩම් මග හැර ඇති අයුරු ද දුටුවා ය. තව දුරටත් පන්තියේ සිසුන්ගේ පොත් පරීක්ෂා කළ විට දී දැක ගත හැකි වූයේ අතරින් පතර උගන්වා තිබූ ජ්‍යාමිතිය කොටස් ද වැරදි සහගත ව උගන්වා තුබූ බව ය. වෙනත් විෂය ක්ෂේත‍්‍ර පිළිබඳ කටයුතු කරන තමාට ගණිතය විෂයයෙහි ‘ජ්‍යාමිතිය’ පාඩම පිළිබඳ වැඩි දැනුමක් නොමැති බව ද ජ්‍යාමිතියට දැක්වූ අකැමැත්ත සහ බිය ද නිසා එසේ මග හැර යාමට සිදු වූ බව ද අදාළ ගුරුවරිය ද පිළිගත්තා ය. කෙසේ වෙතත් ඇය සේවය වෙනුවෙන් දැඩි කැප කිරීමක් කරන බව දුටු නිසා, ඇයට විෂයය කරුණු පිළිබඳ දැනුම ලබා දී, ජ්‍යාමිතිය රසවත් ලෙස ඉගැන්විය හැකි විෂයය කොටසක් බව පෙන්වා, එම විෂයය කරුණු වින්දනාත්මක ව ඉගැන්වීමට ක‍්‍රමවේද කීපයක් හඳුන්වා දීමට කුමාරිහාමි මහත්මිය තීරණය කළා ය. ඉහත දැක්වූ ‘ක‍්‍රියාමූලික පර්යේෂණ’ ක‍්‍රමවේදය යටතේ මෙය සැලසුම් කළ එතුමිය ඒ සඳහා පාසලේ විදුහල්පතිතුමාගෙන් ද අවසර ඇති ව ගණිතය විෂයය ආවරණය කළ ගුරුතුමිය ද 9 සහ 11 පන්තිවල සිටි සිසු සිසුවියන් 27 දෙනා ද පර්යේෂණය කිරීම සඳහා සම්බන්ධ කර ගත්තා ය.
පළමු ව ගුරුතුමිය සමග සම්මුඛ සාකච්ඡුාවක් පැවැත්වීමෙනුත්, යම් ක‍්‍රියාකාරකම් ලබා දීමෙනුත් ඇයගේ ‘ජ්‍යාමිතිය’ දැනුම පරික්ෂා කළ අතර, ඇයගේ ජ්‍යාමිතිය දැනුම අවම මට්ටමක පවතින බව දැක ගන්නට ලැබිණිි. ගුරුතුමියට වටහා ගන්නට නොහැකි වී තිබූ ජ්‍යාමිතිය සංකල්ප අවබෝධ කරවීමටත්, පාසල් සිසුන්ට සරල ව ජ්‍යාමිතිය ඉගැන්වීමටත් කුමාරිහාමි මහත්මිය සෞන්දර්යාත්මක හැඩතල භාවිතයෙන් ක‍්‍රියාකාරකම් සැලසුම් කළා ය. ගීතයක් නිර්මාණය කර එය ගායනය සහ නර්තනය (විද්‍යාලීය තර්තන ගුරු මහත්මියගේ සහාය ද ගෙන) ඇසුරින් ජ්‍යාමිතියේ ‘මූලික පථ’ හතර පිළිබඳ ගැටලූ විසඳීමට කටයුතු කළා ය. ඒ සඳහා යොදා ගත් ගීතයේ පද පේළි කිහිපයක් පහත දක්වේ.
අචල ලක්ෂයක් යම් තලයක් මත- තියෙනා විට පිහිටාලා
ඊට සමදුරින් යන්නේ කොහොම ද- කියනු මැනවි මට පහදාලා
අචල ලක්ෂයට නියත දුරක් ඇති වෘත්තාකාර වූ මගක් දිගේ
යන්නට පුළුවනි එලෙසයි යන්නේ- නිවැරදි මාවත එයයි නෙඟ්
ලක්ෂ දෙකක් එකිනෙකට දුරින්- තියනා විට අචල ව පිහිටාලා
ඊට සමදුරින් කොහොම ද යන්නේ- කියන්න එලෙස ම පහදාලා
ලක්ෂ දෙකට හරි මැදිනුයි යන්නේ- ලම්බ සමච්ෙඡ්දකය දිගේ
එලෙසින් යන කොතැනක හිටියත්- ලක්ෂ දෙකට දුර සමයි නෙඟ්
අනතුරු ව ‘දොරමඩලාව’ වැඩසටහනට අනුරූප වැඩසටහනක් නිර්මාණය කළේ ජ්‍යාමිතියේ ‘පාරිභාෂික වචන’ 12ක් පිළිිබඳ සාකච්ඡුා කිරීමට ය. එහි 11 වන ශ්‍රේණියේ සිසුන් 4 දෙනෙක් ජ්‍යාමිතිය පිළිබඳ මහාචාර්යවරු වූහ. ඉතිරි සිසූහු ප‍්‍රශ්න අසන්නෝ වූහ. ගුරු මහත්මිය ද ප‍්‍රශ්න අසන්නියකි. පිළිතුරු දෙන සිසුන් 4 දෙනාට එම වචනවල අදහස වැඩසටහනට පෙර පැහැදිලි කර දුන් අතර, එක් අයකුට වචන තුනක් පිළිබඳ අදහස් දැක්වීමට උපදෙස් දී තිබුණි. මහාචාර්යවරුන් ලෙස ර`ගපෑමට තිබූ නිසා ඔවුහු ඉතා ම හොඳින් එම වචන පිළිබඳ අදහස් දැක්වීමට සමත් වූහ. එහි දී ඇසූ ප‍්‍රශ්නයක් හා ඊට ලැබුණු පිළිතුර පහතින් දැක්වේ.
ප‍්‍රශ්නය: ඝනකයකට පෘෂ්ඨ 06 ක් තියෙනවා කිව්වොත් වැරදි ද ?
පිළිතුර: වැරදියි. ඝනකයට තියෙන්නෙ පෘෂ්ඨ එකයි. ඒ බාහිර පෘෂ්ඨය. ඝනකයට මුහුණත් 6ක් තියෙනවා.
“ඔයයි මමයි” නමින් ක‍්‍රීඩා පිටියේ දී ක‍්‍රීඩාවක් සැලසුම් කළේ ‘ප‍්‍රමේය’ සම්බන්ධ ව කාර්ය පත‍්‍රිකා මගින් පන්ති කාමරයේ දී කළ ක‍්‍රියාකාරකම ඒකාකාරී බවින් සිසුන් මුදවා එම ප‍්‍රමේය පිළිබඳ ව මතය මැන බැලීමට ය. ගුරුතුමිය ද සිසුන් සමග ක‍්‍රිඩාවේ යෙදීම ඔවුන්ට මහත් විනෝදයක් ගෙන දෙන්නක් විය. ඔවුහු ඉතා ප‍්‍රීතියෙන් ද උද්යෝගයෙන් ද ක‍්‍රීඩාවේ නිරත වූහ. තව ද පාසල් බිමේ සීිමිත ප‍්‍රදේශයක පුටු තබා මුලිිින් සකස් කර ගත් කාඞ්පත් කට්ටලයකින් එක කාඞ්පතක් බැගින් පුටු මත තබා කරන ක‍්‍රීඩාවක් සැලසුම් කර තිබුණේ 9 වන ශ්‍රේණියේ සිසුන්ගේ ‘කෝණ’ පිළිබඳ දැනුම වර්ධනය කිරීම සඳහා ය. සිසුන්ට සංඥාවක් නිකුත් කළ පසු එක් කාඞ්පතක් තෝරා ගෙන කාඞ්පතේ ඇතුළත් කෝණ යුගල ගැළපිය යුතු විය. වැඩි ම කාඞ්පත් යුගල තේරූ ශිෂ්‍යයා ජයග‍්‍රහකයා ය. සිසුහු ඉතා ක‍්‍රියාශීලී ව එහේ මෙහේ දුවමින් කාඞ්පත් යුගල තෝරා ගැළපූහ.
ප‍්‍රහේළිකා තරගයක් සංවිධානය කරන්නේ 11 වන ශ්‍රේණියේ සිසුන්ගේ ‘ජ්‍යාමිතිය’ ගණනය කිරීමේ අභ්‍යාස පිළිබඳ දැනුම මැන බැලීමට ය. සිසු සිසුවියන් ප‍්‍රහේළිකාවේ 3 හරහට ප‍්‍රශ්නය හැර ඉතිරි සියලූ ම ප‍්‍රශ්නවලට පිළිතුරු සොයා ප‍්‍රහේළිකාව සම්පුර්ණ කර තිබිණි. 3 හරහට ප‍්‍රශ්නයේ පිළිතුර ‘අනුපූරකය’ යන්න ඔවූහු දැන නොසිටියහ. තමා අතින් එම වචනය පිළිබඳ ව සිසුන් දැනුවත් ව නොමැති බව කුමාරිහාමි මහත්මිය විශ්වාස කළා ය. ගුරු මහත්මිය ද ප‍්‍රහේළිකාව සම්පූර්ණ කළ අතර ඇයගේ පිළිතුරු සියල්ල ද නිවැරදි විය.
සාමාන්‍ය ඉගෙනුම් සම්ප‍්‍රදායට එපිටින් යමින් විනෝදාත්මක ක‍්‍රියාකාරකම් ආධාරයෙන් ජ්‍යාමිතිය ඉගැන්වීමේ මෙම ක‍්‍රමවේදය ගැන පසු ව අදාළ සිසු-සිසුවියන් දක්වා තිබූ අදහස් කිහිපයක් කියවා බලමු. “සාමාන්‍ය පන්තියේ ඉගැන්වීම්වලට වඩා විනොදජනකයි. ක‍්‍රීඩාවක් ආකාරයෙන් කිරීම නිසා ජ්‍යාමිතියට ඇති බය හා ජ්‍යාමිතියේ නොවැටහීම් නැති වී ගියා” යැයි එක් සිසුවියක් ලියා තිබුණා ය. තවත් සිසු-සිසුවියන් දෙදෙනෙක් ලියා තිබුණේ “අපි ඉතාමත් අමාරු යැයි සිතා සිටිය ජ්‍යාමිතිය පාඩම මෙලෙස සරල ව වටහා දීම පිළිිබඳ ව ස්තූතියි” සහ “පුංචි ළමයි හරි හපනුන් වෙනවා දැන් ජ්‍යාමිතියෙන්” ලෙස ය.
ගණිත ගුරුතුමිය දක්වා තිබුණේ මෙවැනි අදහසකි. ”ජ්‍යාමිතිය ප‍්‍රියජනක ලෙස ඉගෙන ගැනීමට සිසුන් පෙලඹවීමට කළ ඉහත වැඩ සටහනේ දී සිසුන්ගේ තිබූ උද්යෝගය මගේ ඉගැන්වීම් තුළ දී දැක නැත. ජ්‍යාමිතිය පිළිබඳ මගේ දැනුම අඩු බව සිසුන්ට දැන ගැනීමට ඉඩ නො දී උපක‍්‍රමශිලී ව මට ද ජ්‍යාමිතිය උගන්වමින් එය රසවත් ව ඉගැන්වීමට හැකි විෂයයක් බව ඒත්තු ගන්වමින් මා වෙනුවෙන් කළ මෙහෙයට ස්තූනිය පුදමි. සංකීර්ණ විෂය කොටස් ඉතා රසවත් ව උගන්වන විට සිසුන්ගේ උද්යෝගය ඇති වීම මගේ ඉගැන්වීමේ ක‍්‍රියාවලියට ඉමහත් පිටිවහලකි. ජ්‍යාමිතිය පිළිබඳ මා සිතා සිටියේ එය ඉතා ගැඹුරු දෙයක් ලෙස යි. දැන් මා තුළ ජ්‍යාමිතිය ඉගැන්වීමට කිසිදු බියක් නැත. එහෙත් ජ්‍යාමිතියේ සාධනය පිළිබඳ දැනීම තව දුරටත් වර්ධනය කර ගත යුතු බව මගේ හැගීම යි. එය මට කළ හැකි යැයි විශ්වාසයක් මා තුළ පවතී.
අවසානයේ කුමාරිහාමි මහත්මියට මෙම ක‍්‍රියාමූලික පර්යේෂණයෙන් ජ්‍යාමිතිය රසවත් ව ඉගැන්විය හැකි තේමාවක් බවත්, රසවත් ව ඉගෙන ගැනීමට සිසුන්ට ද කැමැත්ත ඇති බවත් නිගමනය කිරීමට හැකි වූවා ය. එමෙන් ම ගණිතය නො වන ගුරුභවතුන් ද ගණිත ගුරුභවතුන් ලෙස පුහුණු කළ හැකි බව පැහැදිලි විය.
ගුරුමාර්ගෝපදේශ සංග‍්‍රහයෙහි ඉගැන්වීවේ ක‍්‍රමවේද ඇතුළත් කිරීමෙන් ගුරුභවතා නිර්මාණශීලී නව ක‍්‍රමවේද ගොඩ නගා ගැනීමට උත්සාහ නොකරන අතර, ක‍්‍රමවේදයකට ඉඟියක් පමණක් ගුරුභවතුන්ට ලබා දීම සුදුසු බවත්, ඇය යෝජනා කර සිටින්නී ය. එසේ ම ගණිත ගුරු හිඟයට පිළිියමක් ලෙස, ගණිතය නො වන, ගණිතය ඉගැන්වීමට කැමති ගුරුභවතුන් සඳහා පුහුණු වැඩ සටහන් ක‍්‍රියාත්මක කිරීමත් උචිත බව ඇය යෝජනා කර සිටින්නී ය.
ආර්.එම්.පී.එම්. කුමාරිහාමි ගණිත ගුරු උපදේශක මහත්මිය විසින් ගණිතය ඉගැන්වීමේ මෙවැනි සෞන්දර්යාත්මක හා සාහිත්‍යමය සරල ක‍්‍රමවේද ඇතුළත් ”වින්දනයෙන් ගණිතය” නමැති කුඩා ග‍්‍රන්ථයක් ද සම්පාදනය කොට ඇත.
අරුණ ප‍්‍රශාන්ත වලිසුන්දර